Un filtre passe-bas

En électronique, un filtre passe-bas RC est un circuit électronique qui laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences.

Le gain en tension (rapport de l'amplitude de sortie par rapport à celle d'entrée) est donné en fonction de la fréquence \(f\) par : `G(f) = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi RC f)^2}}`.

Dans toute l'activité, on considère \(C = 0{,}10 ~\mu\text{F}\) et \(R = 1{,}0 ~\text{k}\Omega\).

Partie A : calcul du gain pour différentes fréquences

On veut calculer le gain correspondant à trois différentes fréquences. Pour cela, on procède par étapes, suivant les étapes suivantes :

\(f\xrightarrow{1} f^2\xrightarrow{2} 1+2\pi RCf^2\xrightarrow{3} \sqrt{1+2\pi RCf^2}\xrightarrow{4} \dfrac{1}{\sqrt{1+2\pi RCf^2}}\)
1. Décrire, en toutes lettres, l'opération réalisée à chaque étape.

2. Calculer \(G(0)\), \(G(1~000)\), \(G(5~000)\). Expliquer pourquoi ce filtre s'appelle passe-bas.

Partie B : modélisation par une fonction composée

1. Voici les expressions de plusieurs fonctions définies pour tout `x` de l'intervalle \(]0~;+\infty[\). Associer à chaque fonction l'étape lors de laquelle on en a calculé l'image par un réel que l'on précisera.

• \(e(x)=x^2\)
  
• \(g(x)=\dfrac{1}{x}\)
  
• \(h(x)=1+2\pi RCx\)
  
• \(k(x)=\sqrt x\)
  

2. Expliquer pourquoi l'étape 2 correspond au calcul de \(h(e(f))\). Quelle serait l'expression de \(e(h(f))\) ? Que peut-on en conclure ?

La fonction gain est la composée de plusieurs fonctions, on la note ainsi : \(G(f)=(g\circ k \circ h \circ e)(f)\) ou \(G(f)=g(k(h(e(f)))\).

Partie C : un filtre passe-haut

En électronique, un filtre passe-haut RC est un circuit électronique qui laisse passer les hautes fréquences et atténue les basses fréquences.

Le gain en tension (rapport de l'amplitude de sortie par rapport celle d'entrée) est donné en fonction de la fréquence\(f\) par :

`G(f) = \frac{2\pi RCf}{\sqrt{1 + (2\pi RC f)^2}}`.

Décrire la fonction \(G\) définie sur \([0~;+\infty[\) comme la composée de plusieurs fonctions que l'on précisera.